Le carré vaut quatre fois l'identité

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 3 — Réduction des matrices carrées · Spectre et polynôme annulateur

Énoncé

Soit $A \in M_{n} (R)$ vérifiant $A^{2} = 4 I_{n}$ . Déterminer les valeurs propres possibles de $A$ , et montrer que $A$ est inversible en exprimant $A^{- 1}$ en fonction de $A$ .

Corrigé

Les candidats. La relation s'écrit $A^{2} - 4 I_{n} = 0$ , donc le polynôme $Q (x) = x^{2} - 4 = (x - 2) (x + 2)$ est annulateur de $A$ . Toute valeur propre de $A$ est racine de $Q$ , donc $Sp (A) \subset {2, - 2} .$ Ce sont des candidats : rien ne garantit que les deux soient atteints. Ainsi $A = 2 I_{n}$ vérifie $A^{2} = 4 I_{n}$ et n'a que $2$ pour valeur propre.

Inversibilité. Récrivons la relation en factorisant par $A$ : $A^{2} = 4 I_{n} donne A \times \frac{1}{4} A = I_{n} .$ On dispose donc d'une matrice $B = \frac{1}{4} A$ telle que $A B = I_{n}$ , et le même calcul donne $B A = I_{n}$ puisque $A$ commute avec elle-même. Donc $A$ est inversible et $A^{- 1} = \frac{1}{4} A .$

Contrôle de cohérence. Si $λ$ est valeur propre de $A$ , alors $\frac{1}{λ}$ est valeur propre de $A^{- 1} = \frac{1}{4} A$ , dont les valeurs propres sont les $\frac{λ}{4}$ . On doit donc avoir $\frac{1}{λ} = \frac{λ}{4}$ , soit $λ^{2} = 4$ : on retrouve exactement $λ = \pm 2$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.