Le carré vaut quatre fois l'identité

Les candidats. La relation s'écrit $A^2-4I_n=0$, donc le polynôme $$Q(x)=x^2-4=(x-2)(x+2)$$ est annulateur de $A$. Toute valeur propre de $A$ est racine de $Q$, donc $$\mathrm{Sp}(A)\subset \{2,-2\}.$$ Ce sont des candidats : rien ne garantit que les deux soient atteints. Ainsi $A=2I_n$ vérifie $A^2=4I_n$ et n'a que $2$ pour valeur propre.

Inversibilité. Récrivons la relation en factorisant par $A$ : $$A^2=4I_n\text{donne}A\times \frac{1}{4}A=I_n.$$ On dispose donc d'une matrice $B=\frac{1}{4}A$ telle que $AB=I_n$, et le même calcul donne $BA=I_n$ puisque $A$ commute avec elle-même. Donc $A$ est inversible et $$A^{-1}=\frac{1}{4}A.$$

Contrôle de cohérence. Si $\lambda$ est valeur propre de $A$, alors $\frac{1}{\lambda }$ est valeur propre de $A^{-1}=\frac{1}{4}A$, dont les valeurs propres sont les $\frac{\lambda }{4}$. On doit donc avoir $\frac{1}{\lambda }=\frac{\lambda }{4}$, soit ${\lambda }^2=4$ : on retrouve exactement $\lambda =\pm 2$.