mathématiques appliquées (ECG 2e année) · Chapitre 3 · Exercice d'entraînement

Le spectre de l'inverse

Réduction des matrices carrées · Éléments propres et spectre · ★★★ niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ inversible. Montrer que $0$ n'est pas valeur propre de $A$, puis que $\lambda \in \mathrm{Sp}(A)⟺\frac{1}{\lambda }\in \mathrm{Sp}(A^{-1})$, les vecteurs propres associés étant les mêmes.

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.