Le spectre de l'inverse

$0$ n'est pas valeur propre. Si $0$ l'était, il existerait $X\ne 0$ avec $AX=0\cdot X=0$. En multipliant à gauche par $A^{-1}$ : $$X=I_{n}X=(A^{-1}A)X=A^{-1}(AX)=A^{-1}\cdot 0=0,$$ ce qui contredit $X\ne 0$. Donc $0\notin \mathrm{Sp}(A)$, et toute valeur propre $\lambda$ de $A$ est non nulle : l'écriture $\frac{1}{\lambda }$ a un sens.

Sens direct. Soit $\lambda \in \mathrm{Sp}(A)$ et $X\ne 0$ tel que $AX=\lambda X$. Multiplions à gauche par $A^{-1}$ : $$X=A^{-1}(\lambda X)=\lambda A^{-1}X.$$ Comme $\lambda \ne 0$, on peut diviser : $$A^{-1}X=\frac{1}{\lambda }X.$$ Le même $X$, non nul, est donc vecteur propre de $A^{-1}$ pour la valeur propre $\frac{1}{\lambda }$.

Sens réciproque. $A^{-1}$ est inversible, d'inverse $A$. Le sens direct appliqué à $A^{-1}$ donne : si $\mu \in \mathrm{Sp}(A^{-1})$, alors $\frac{1}{\mu }\in \mathrm{Sp}(A)$. En posant $\mu =\frac{1}{\lambda }$ on obtient l'implication manquante.

Le point délicat est la division par $\lambda$ : elle n'est licite qu'après avoir établi que $0$ n'est pas valeur propre. C'est pour cela que la première étape n'est pas une remarque décorative, mais un préalable.

Une conséquence utile. Si $\mathrm{Sp}(A)=\{2,-\frac{1}{3}\}$ pour une matrice inversible $A$, alors $\mathrm{Sp}(A^{-1})=\{\frac{1}{2},-3\}$, sans le moindre calcul d'inverse.