mathématiques appliquées (ECG 2e année) · Chapitre 3 · Exercice d'entraînement

Le spectre ne dépend pas de la base

Réduction des matrices carrées · Diagonalisation et puissances · ★★★ niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soient $A$ et $B$ deux matrices de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ semblables, c'est-à-dire $B=Q^{-1}AQ$ avec $Q$ inversible. Montrer que $\mathrm{Sp}(A)=\mathrm{Sp}(B)$. En déduire que $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$ ne sont pas semblables.

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.