Les puissances d'une matrice diagonale

Les puissances. Le produit de deux matrices diagonales est la matrice diagonale des produits terme à terme : si $D=\mathrm{diag}(d_1,d_2,d_3)$, alors $D^2=\mathrm{diag}(d_1^2,d_2^2,d_3^2)$, et une récurrence immédiate donne $D^n=\mathrm{diag}(d_1^n,d_2^n,d_3^n)$. Ici $$D^n=\left(\begin{array}{ccc}{2}^n& 0& 0\\ 0& (-1{)}^n& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),n⩾1.$$ Le coefficient $(-1{)}^n$ vaut $1$ si $n$ est pair, $-1$ s'il est impair : cette composante oscille sans converger.

Le spectre. $D$ est diagonale, donc triangulaire, et ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux : $$\mathrm{Sp}(D)=\{2,-1,0\}.$$

Inversibilité. $0$ appartient au spectre, donc $D$ n'est pas inversible. On le voit directement : la troisième colonne de $D$ est nulle, donc $D{}^t(0,0,1)=0$ avec ${}^t(0,0,1)\ne 0$.

Comportement des puissances. La composante en $2^n$ tend vers $+\infty$, celle en $(-1{)}^n$ oscille, celle en $0$ est nulle dès $n=1$. Une matrice diagonale rend ces trois régimes visibles séparément : c'est précisément ce qu'on gagne en diagonalisant une matrice qui ne l'est pas.