Les puissances d'une matrice qui résiste

Le spectre. $A$ est triangulaire supérieure, donc $\mathrm{Sp}(A)=\{3\}$ : une seule valeur propre.

Non diagonalisable. Supposons-le : il existerait $P$ inversible et $D$ diagonale avec $A=PD{P}^{-1}$. Deux matrices semblables ont le même spectre — si $DX=\lambda X$ avec $X\ne 0$, alors $A(PX)=\lambda (PX)$ et $PX\ne 0$ — donc les coefficients diagonaux de $D$ sont tous égaux à $3$, c'est-à-dire $D=3I_3$. Il viendrait $$A=P(3I_3)P^{-1}=3P{P}^{-1}=3I_3,$$ ce qui est faux : le coefficient de $A$ en position $(1,3)$ vaut $1$ et non $0$. Donc $A$ n'est pas diagonalisable.

Décomposition pour le binôme. Écrivons $A=3I_3+N$ avec $$N=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right),N^2=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)=0.$$ (Le produit se lit ligne par colonne : la seule entrée non nulle de $N$ est en position $(1,3)$, et la troisième ligne de $N$ est nulle.)

La formule du binôme. Elle exige que les deux matrices commutent : ici $3I_3$ commute avec tout, la condition est remplie. Comme $N^2=0$, la somme s'arrête au terme $j=1$ : $$A^n=(3I_3+N{)}^n=\sum _{j=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{j})3^{n-j}{N}^j=3^n{I}_3+n{3}^{n-1}N.$$ Soit $$A^n=\left(\begin{array}{ccc}{3}^n& 0& n{3}^{n-1}\\ 0& 3^n& 0\\ 0& 0& 3^n\end{array}\right).$$

Vérification pour $n=2$. La formule donne le coefficient $2\times 3=6$ en position $(1,3)$ ; et le calcul direct $A^2$ donne en position $(1,3)$ : $3\times 1+0+1\times 3=6$. C'est cohérent.