Remonter d'une diagonalisation à la matrice

L'inverse de $P$. Le déterminant vaut $1\times 2-1\times 1=1\ne 0$, donc $P$ est inversible et $$P^{-1}=\frac{1}{1}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 1\end{array}\right).$$

Le produit. D'abord $PD$ : multiplier à droite par une matrice diagonale multiplie la colonne $j$ par le $j$-ème coefficient diagonal, donc $$PD=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 2& 6\end{array}\right).$$ Puis $$A=(PD)P^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 2& 6\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4-3& -2+3\\ 4-6& -2+6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -2& 4\end{array}\right).$$

Les vecteurs propres. Le théorème du cours dit que les colonnes de $P$ sont des vecteurs propres, associés aux coefficients diagonaux de $D$ dans le même ordre. Vérifions-le : $$A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1+1\\ -2+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),$$ $$A\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1+2\\ -2+8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 6\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right).$$ Les deux colonnes sont bien propres, pour $2$ et $3$ respectivement, donc $\{2,3\}\subset \mathrm{Sp}(A)$ ; et une matrice d'ordre $2$ a au plus $2$ valeurs propres, d'où l'égalité.

Contrôle. La somme des coefficients diagonaux de $A$ vaut $1+4=5$, celle des valeurs propres $2+3=5$.