Trouver un polynôme annulateur par le calcul

Le carré. $$A^2=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1+6& 2+4\\ 3+6& 6+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7& 6\\ 9& 10\end{array}\right).$$ Chaque coefficient se lit « ligne de gauche contre colonne de droite » : par exemple celui en position $(2,2)$ vaut $3\times 2+2\times 2=10$.

La relation. Calculons coefficient par coefficient : $$A^2-3A-4I_2=\left(\begin{array}{cc}7-3-4& 6-6-0\\ 9-9-0& 10-6-4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right).$$ La relation $A^2-3A-4I_2=0$ est donc vérifiée.

Les valeurs propres possibles. Le polynôme $$Q(x)=x^2-3x-4=(x-4)(x+1)$$ est annulateur de $A$ (on vérifie la factorisation en développant : $x^2+x-4x-4=x^2-3x-4$). Toute valeur propre de $A$ est racine de $Q$, donc $$\mathrm{Sp}(A)\subset \{4,-1\}.$$

Contrôle. La somme des coefficients diagonaux de $A$ vaut $1+2=3$, et $4+(-1)=3$ : cohérent avec l'hypothèse que les deux candidats sont effectivement valeurs propres — ce qu'il resterait à vérifier en étudiant le rang de $A-4I_2$ et de $A+I_2$.