Un polynôme annulateur, puis le tri des candidats

Le calcul. $$A^2=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 6& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 6& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& 1\\ 6& 7\end{array}\right),A+6I_2=\left(\begin{array}{cc}6& 1\\ 6& 7\end{array}\right).$$ Les deux matrices coïncident : $A^2=A+6I_2$.

Les candidats. La relation s'écrit $A^2-A-6I_2=0$, donc le polynôme $Q(x)=x^2-x-6=(x-3)(x+2)$ est annulateur de $A$. Le théorème du cours affirme que toute valeur propre est racine d'un polynôme annulateur, donc $$\mathrm{Sp}(A)\subset \{3,-2\}.$$ Attention : l'inclusion peut être stricte, il faut tester chaque candidat.

Le candidat $3$. $A-3I_2=\left(\begin{array}{cc}-3& 1\\ 6& -2\end{array}\right)$ : la deuxième ligne est $-2$ fois la première, la matrice est de rang $1<2$, donc elle n'est pas inversible et $3$ est valeur propre. Le système $-3x+y=0$ donne $y=3x$ : un vecteur propre est ${}^t(1,3)$.

Le candidat $-2$. $A+2I_2=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 6& 3\end{array}\right)$ : la deuxième ligne est le triple de la première, rang $1<2$, donc $-2$ est valeur propre. Le système $2x+y=0$ donne $y=-2x$ : un vecteur propre est ${}^t(1,-2)$.

Conclusion. $\mathrm{Sp}(A)=\{3,-2\}$. Deux valeurs propres distinctes pour une matrice d'ordre $2$ : $A$ est diagonalisable, semblable à $\mathrm{diag}(3,-2)$.