Un polynôme annulateur qui donne l’inverse

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 3 — Réduction des matrices carrées · Polynômes annulateurs

Énoncé

Soit $A \in M_{n} (R)$ telle que $A^{2} - 5 A + 6 I_{n} = 0$ . Montrer que $A$ est inversible et exprimer $A^{- 1}$ en fonction de $A$ . Quelles sont les valeurs propres possibles de $A$ ?

Corrigé

Inversibilité. On isole $I_{n}$ dans la relation : $A^{2} - 5 A = - 6 I_{n}$ , soit $A (5 I_{n} - A) = 6 I_{n}$ . En divisant par $6$ :

$A \cdot \frac{1}{6} (5 I_{n} - A) = I_{n} .$

Le produit dans l'autre sens donne la même chose, car $A$ commute avec $I_{n}$ et avec elle-même. Donc $A$ est inversible et

$A^{- 1} = \frac{1}{6} (5 I_{n} - A) .$

Valeurs propres possibles. Le polynôme $Q (x) = x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$ est annulateur de $A$ . Toute valeur propre de $A$ est racine de $Q$ , donc

$Sp (A) \subset {2, 3} .$

Cohérence. $0$ n'est pas dans cette liste : on retrouve, par un autre chemin, que $A$ est inversible.

Attention à l'inclusion. Elle peut être stricte : $A = 2 I_{n}$ vérifie bien $4 I_{n} - 10 I_{n} + 6 I_{n} = 0$ , et son spectre est le seul ${2}$ . Un polynôme annulateur fournit des candidats, pas des valeurs propres.

Contrôle sur cet exemple. Pour $A = 2 I_{n}$ , la formule donne $A^{- 1} = \frac{1}{6} (5 I_{n} - 2 I_{n}) = \frac{1}{2} I_{n}$ . C'est bien l'inverse de $2 I_{n}$ .

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