Un polynôme annulateur qui donne l’inverse

Inversibilité. On isole $I_n$ dans la relation : $A^2-5A=-6I_n$, soit $A(5I_n-A)=6I_n$. En divisant par $6$ :

$$A\cdot \frac{1}{6}(5I_n-A)=I_n.$$

Le produit dans l'autre sens donne la même chose, car $A$ commute avec $I_n$ et avec elle-même. Donc $A$ est inversible et

$$A^{-1}=\frac{1}{6}(5I_n-A).$$

Valeurs propres possibles. Le polynôme $Q(x)=x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ est annulateur de $A$. Toute valeur propre de $A$ est racine de $Q$, donc

$$\mathrm{Sp}(A)\subset \{2,3\}.$$

Cohérence. $0$ n'est pas dans cette liste : on retrouve, par un autre chemin, que $A$ est inversible.

Attention à l'inclusion. Elle peut être stricte : $A=2I_n$ vérifie bien $4I_n-10I_n+6I_n=0$, et son spectre est le seul $\{2\}$. Un polynôme annulateur fournit des candidats, pas des valeurs propres.

Contrôle sur cet exemple. Pour $A=2I_n$, la formule donne $A^{-1}=\frac{1}{6}(5I_n-2I_n)=\frac{1}{2}{I}_n$. C'est bien l'inverse de $2I_n$.