Un produit qui vaut zéro

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 3 — Réduction des matrices carrées · Polynômes annulateurs

Énoncé

Soit $A \in M_{n} (R)$ telle que $(A - 2 I_{n}) (A + I_{n}) = 0$ . Montrer que $A$ est diagonalisable si $A \neq = 2 I_{n}$ et $A \neq = - I_{n}$ , et donner les valeurs propres.

Corrigé

Candidats. $Q (x) = (x - 2) (x + 1)$ est annulateur, donc $Sp (A) \subset {2, - 1}$ .

Les deux sont atteintes. Comme $A \neq = - I_{n}$ , il existe $Z$ avec $A Z \neq = - Z$ ; posons $X = A Z + Z \neq = 0$ . Alors $A X - 2 X = (A - 2 I_{n}) (A + I_{n}) Z = 0$ , donc $A X = 2 X$ : $2$ est valeur propre. Symétriquement, comme $A \neq = 2 I_{n}$ , le vecteur $Y = A Z^{'} - 2 Z^{'} \neq = 0$ pour un certain $Z^{'}$ , et $(A + I_{n}) Y = 0$ , donc $A Y = - Y$ : $- 1$ est valeur propre.

Diagonalisabilité. Pour toute colonne $V$ , écrivons

$V = \in E_{2} (A) \frac{1}{3} (A V + V) + \in E_{- 1} (A) \frac{1}{3} (2 V - A V) .$

La somme des deux morceaux vaut bien $\frac{1}{3} (A V + V + 2 V - A V) = V$ , et chacun est dans le sous-espace propre annoncé — le premier parce que $(A - 2 I_{n}) (A + I_{n}) V = 0$ , le second parce que $(A + I_{n}) (A - 2 I_{n}) V = 0$ , les deux facteurs commutant. Donc $M_{n, 1} (R) = E_{2} (A) \oplus E_{- 1} (A)$ , et la réunion d'une base de chacun est une base de vecteurs propres : $A$ est diagonalisable.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.