Un produit qui vaut zéro

Candidats. $Q(x)=(x-2)(x+1)$ est annulateur, donc $\mathrm{Sp}(A)\subset \{2,-1\}$.

Les deux sont atteintes. Comme $A\ne -I_n$, il existe $Z$ avec $AZ\ne -Z$ ; posons $X=AZ+Z\ne 0$. Alors $AX-2X=(A-2I_n)(A+I_n)Z=0$, donc $AX=2X$ : $2$ est valeur propre. Symétriquement, comme $A\ne 2I_n$, le vecteur $Y=A{Z}^{\prime }-2Z^{\prime }\ne 0$ pour un certain $Z^{\prime }$, et $(A+I_n)Y=0$, donc $AY=-Y$ : $-1$ est valeur propre.

Diagonalisabilité. Pour toute colonne $V$, écrivons

$$V=\underset{\in E_2(A)}{\underbrace{\frac{1}{3}(AV+V)}}+\underset{\in E_{-1}(A)}{\underbrace{\frac{1}{3}(2V-AV)}}.$$

La somme des deux morceaux vaut bien $\frac{1}{3}(AV+V+2V-AV)=V$, et chacun est dans le sous-espace propre annoncé — le premier parce que $(A-2I_n)(A+I_n)V=0$, le second parce que $(A+I_n)(A-2I_n)V=0$, les deux facteurs commutant. Donc ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})=E_2(A)\oplus E_{-1}(A)$, et la réunion d'une base de chacun est une base de vecteurs propres : $A$ est diagonalisable.