Un sous-espace propre

$$A\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\times 2+2\times 1\\ 1\times 2+3\times 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)=5\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right).$$

Le vecteur n'est pas nul et son image lui est proportionnelle : c'est bien un vecteur propre, de valeur propre $\lambda =5$.

La méthode. Pour vérifier qu'un vecteur est propre, on multiplie et on compare — jamais besoin de chercher le spectre. C'est la question la moins chère du chapitre.