Un spectre lu sur une triangulaire inférieure

Le spectre. $A$ est triangulaire inférieure : tous ses coefficients au-dessus de la diagonale sont nuls. La règle du cours vaut pour les deux sortes de matrices triangulaires — $A-\lambda I_3$ reste triangulaire, de coefficients diagonaux $a_{i,i}-\lambda$, et une matrice triangulaire est inversible si et seulement si aucun coefficient diagonal n'est nul. Donc $$\mathrm{Sp}(A)=\{2,2,-3\}=\{2,-3\}.$$ La valeur $2$ occupe deux places sur la diagonale, mais un spectre est un ensemble : on ne l'écrit qu'une fois.

Inversibilité. Deux justifications, également valables.

Par les coefficients diagonaux : ils valent $2$, $2$ et $-3$, tous non nuls, donc la matrice triangulaire $A$ est inversible.

Par le spectre : $\lambda$ est valeur propre de $A$ si et seulement si $A-\lambda I_3$ n'est pas inversible ; en particulier $A$ elle-même ($\lambda =0$) est inversible si et seulement si $0\notin \mathrm{Sp}(A)$. Ici $0$ n'est pas dans le spectre, donc $A$ est inversible.

À ne pas conclure trop vite. Rien de ce qui précède ne dit si $A$ est diagonalisable : il faudrait connaître la dimension de $E_2$, qui peut valoir $1$ ou $2$.