Un spectre par le déterminant d’ordre deux

Le critère. $\lambda$ est valeur propre de $A$ si et seulement si $A-\lambda I_2$ n'est pas inversible, c'est-à-dire si son déterminant est nul. En dimension $2$, ce déterminant se calcule directement :

$$\det (A-\lambda I_2)=\left|\begin{array}{cc}1-\lambda & 4\\ 2& 3-\lambda \end{array}\right|=(1-\lambda )(3-\lambda )-8={\lambda }^2-4\lambda -5=(\lambda -5)(\lambda +1).$$

Donc $\mathrm{Sp}(A)=\{5,-1\}$.

Vecteur propre pour $5$. $(A-5I_2)X=0$ s'écrit $\left(\begin{array}{cc}-4& 4\\ 2& -2\end{array}\right)X=0$, soit $x=y$. Un vecteur propre : ${}^t(1,1)$, et l'on vérifie $A{}^t(1,1)={}^t(1+4,2+3)={}^t(5,5)=5{}^t(1,1)$.

Vecteur propre pour $-1$. $(A+I_2)X=0$ s'écrit $\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 2& 4\end{array}\right)X=0$, soit $x+2y=0$. Un vecteur propre : ${}^t(2,-1)$, et $A{}^t(2,-1)={}^t(2-4,4-3)={}^t(-2,1)=-{}^t(2,-1)$.

Le point à retenir. Deux valeurs propres distinctes en dimension $2$ : $A$ est diagonalisable. Et le déterminant n'est au programme qu'en taille $2\times 2$ — au-delà, on cherche les valeurs propres autrement : en repérant un vecteur propre, en lisant une diagonale triangulaire, ou en constatant que le rang de $A-\lambda I_n$ chute.