Un spectre par polynôme annulateur

Réduction des matrices carrées · Polynômes annulateurs · niveau 2

Énoncé

Soit $A \in M_{3} (R)$ vérifiant $A^{2} = A$ et $A \neq = 0$ , $A \neq = I_{3}$ . Quelles sont les valeurs propres possibles de $A$ ? Montrer que $A$ en a exactement deux.

Corrigé

Candidats. $A^{2} - A = 0$ , donc $Q (x) = x^{2} - x = x (x - 1)$ est annulateur. Ainsi $Sp (A) \subset {0, 1}$ .

$1$ est valeur propre. Comme $A \neq = 0$ , il existe une colonne $Y$ telle que $X = A Y \neq = 0$ . Alors $A X = A^{2} Y = A Y = X$ : $X$ est un vecteur propre de valeur propre $1$ .

$0$ est valeur propre. Comme $A \neq = I_{3}$ , il existe $Z$ tel que $A Z \neq = Z$ . Posons $W = Z - A Z \neq = 0$ . Alors $A W = A Z - A^{2} Z = A Z - A Z = 0$ : $W$ est un vecteur propre de valeur propre $0$ .

Donc $Sp (A) = {0, 1}$ .

Remarque. Une telle matrice est toujours diagonalisable, de matrice diagonale formée de $0$ et de $1$ .

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