Une matrice dont le cube vaut elle-même

Les candidats. La relation $A^3=A$ s'écrit $A^3-A=0$, donc le polynôme $$Q(x)=x^3-x=x(x-1)(x+1)$$ est annulateur de $A$. Toute valeur propre de $A$ est racine de $Q$, donc $$\mathrm{Sp}(A)\subset \{-1,0,1\}.$$ Rien de plus ne peut être dit sans information supplémentaire : ces trois valeurs sont des candidats, non des valeurs propres certaines. Ainsi $A=I_n$ vérifie $A^3=A$ et n'a que $1$ pour valeur propre.

Le cas inversible. Supposons $A$ inversible. Multiplions la relation $A^3=A$ à droite par $A^{-1}$ : $$A^3{A}^{-1}=A{A}^{-1},\text{soit}{A}^2=I_n.$$ Le calcul $A^3{A}^{-1}=A^2(A{A}^{-1})=A^2$ n'utilise que l'associativité du produit matriciel.

Les valeurs propres dans ce cas. La relation $A^2-I_n=0$ fournit le polynôme annulateur $x^2-1=(x-1)(x+1)$, donc $$\mathrm{Sp}(A)\subset \{-1,1\}.$$ On retrouve ce résultat autrement : $A$ étant inversible, $0$ ne peut pas être valeur propre — sinon il existerait $X\ne 0$ avec $AX=0$, et en multipliant par $A^{-1}$ on obtiendrait $X=0$. Le candidat $0$ tombe donc de lui-même.

Le point délicat. Simplifier « $A^3=A$ donc $A^2=I_n$ » sans hypothèse d'inversibilité est faux : la matrice nulle vérifie $A^3=A$ et son carré n'est pas $I_n$. On ne simplifie une égalité matricielle que par une matrice inversible.