Une matrice qui résiste

Spectre. $A$ est triangulaire : $\mathrm{Sp}(A)=\{5\}$.

Sous-espace propre. $(A-5I_2)X=0$ s'écrit $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=0$, soit $y=0$. Donc $E_5(A)=\mathrm{Vect}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$, de dimension $1$. Il n'y a qu'une direction propre : impossible de former une base de ${\mathcal{M}}_{2,1}(\mathbb{R})$ avec des vecteurs propres. $A$ n'est pas diagonalisable.

Puissances par le binôme. $A=5I_2+N$ avec $N=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ et $N^2=0$. Comme $5I_2$ commute avec $N$, pour $n⩾1$ :

$$A^n=5^n{I}_2+n{5}^{n-1}N=\left(\begin{array}{cc}{5}^n& n{5}^{n-1}\\ 0& 5^n\end{array}\right).$$

Contrôle pour $n=2$ : la formule donne $\left(\begin{array}{cc}25& 10\\ 0& 25\end{array}\right)$, et le produit direct ${\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 0& 5\end{array}\right)}^2$ vaut bien cela.