Une matrice symétrique d’ordre trois

Diagonalisable, avant tout calcul. $A$ est symétrique : le cours admet qu'une telle matrice est diagonalisable. Il reste à trouver les éléments propres.

Une valeur propre visible. Chaque ligne a pour somme $5$, donc $A{}^t(1,1,1)={}^t(5,5,5)=5{}^t(1,1,1)$ : $5\in \mathrm{Sp}(A)$.

Le rang qui chute. $A-2I_3$ est la matrice dont tous les coefficients valent $1$ : ses trois lignes sont égales, son rang vaut $1$, elle n'est donc pas inversible et $2\in \mathrm{Sp}(A)$. Le système $(A-2I_3)X=0$ se réduit à la seule équation $x+y+z=0$, d'où

$$E_2(A)=\mathrm{Vect}({}^t(1,-1,0),{}^t(1,0,-1)),\dim E_2(A)=2.$$

Une base de vecteurs propres. Les trois vecteurs ${}^t(1,1,1)$, ${}^t(1,-1,0)$ et ${}^t(1,0,-1)$ sont propres, et ils sont libres : une combinaison nulle $a{}^t(1,1,1)+b{}^t(1,-1,0)+c{}^t(1,0,-1)=0$ donne $a+b+c=0$, $a-b=0$ et $a-c=0$, donc $a=b=c$ puis $3a=0$. Trois vecteurs libres dans un espace de dimension $3$ en forment une base : $A$ est diagonalisable et $\mathrm{Sp}(A)=\{5,2\}$.

Diagonalisation.

$$P=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& -1& 0\\ 1& 0& -1\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{ccc}5& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right).$$

Vérification, à ne jamais sauter. Les colonnes de $AP$ sont ${}^t(5,5,5)$, ${}^t(2,-2,0)$, ${}^t(2,0,-2)$ ; celles de $PD$ sont les colonnes de $P$ multipliées par $5$, $2$, $2$ : c'est la même matrice. $AP=PD$, donc $A=PD{P}^{-1}$.