Une matrice symétrique, sans calcul

Diagonalisable : oui, et sans le moindre calcul. $A$ est symétrique ($a_{i,j}=a_{j,i}$ pour tous $i,j$), et le cours admet que toute matrice symétrique réelle est diagonalisable.

Somme des valeurs propres. $A$ étant diagonalisable, elle est semblable à une matrice diagonale $D$ portant ses valeurs propres, et deux matrices semblables ont la même somme de coefficients diagonaux (l'exercice 7 le démontre à l'ordre $2$ ; on l'admet ici à l'ordre $3$). Donc la somme des valeurs propres, comptées autant de fois qu'elles figurent sur la diagonale de $D$, vaut $2+2+2=6$.

Ce que l'exercice enseigne. Deux renseignements substantiels — la diagonalisabilité et la somme du spectre — obtenus l'un par un coup d'œil à la symétrie, l'autre par une addition de trois nombres. Avant tout calcul, il faut regarder la forme de la matrice.