Une puissance calculée sans calculer la matrice

Le principe. Si $A=PD{P}^{-1}$, alors $$A^3=(PD{P}^{-1})(PD{P}^{-1})(PD{P}^{-1})=PD(P^{-1}P)D(P^{-1}P)D{P}^{-1}=P{D}^3{P}^{-1},$$ les facteurs $P^{-1}P=I_2$ se télescopant au milieu. Élever $A$ à la puissance $3$ revient donc à élever la matrice diagonale $D$, ce qui est immédiat.

L'inverse de $P$. Le déterminant vaut $1\times 1-0\times 1=1$, donc $$P^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\right).$$ Vérification : $P{P}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1-1& 1\end{array}\right)=I_2$.

La puissance de $D$. $D^3=\mathrm{diag}(1^3,2^3)=\mathrm{diag}(1,8)$.

Le produit. Multiplier $P$ à droite par une matrice diagonale multiplie la colonne $j$ par le $j$-ème coefficient diagonal : $$P{D}^3=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 8\end{array}\right),$$ puis $$A^3=(P{D}^3)P^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 8\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1-8& 8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -7& 8\end{array}\right).$$

Contrôle. $A^3$ est semblable à $D^3$, elle doit donc avoir pour valeurs propres $1$ et $8$ : c'est bien ce que donne la lecture de la diagonale de cette matrice triangulaire.