Une suite récurrente d’ordre deux

Forme matricielle. $X_{n+1}={}^t(u_{n+1},u_{n+2})={}^t(u_{n+1},2u_n+u_{n+1})$, donc $X_{n+1}=A{X}_n$ avec $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 1\end{array}\right)$, et $X_n=A^n{X}_0$.

Valeurs propres. $\det (A-\lambda I_2)=-\lambda (1-\lambda )-2={\lambda }^2-\lambda -2=(\lambda -2)(\lambda +1)$, d'où $\mathrm{Sp}(A)=\{2,-1\}$ : deux valeurs distinctes en dimension $2$, donc $A$ est diagonalisable.

Vecteurs propres. Pour $2$ : $(A-2I_2)X=0$ donne $-2x+y=0$, soit ${}^t(1,2)$. Pour $-1$ : $(A+I_2)X=0$ donne $x+y=0$, soit ${}^t(1,-1)$.

Décomposition de $X_0$. $X_0={}^t(1,0)$, et $a{}^t(1,2)+b{}^t(1,-1)={}^t(1,0)$ donne $a+b=1$ et $2a-b=0$, soit $a=\frac{1}{3}$ et $b=\frac{2}{3}$.

Formule explicite. $A^n$ multiplie chaque composante propre par ${\lambda }^n$ :

$$X_n=\frac{1}{3}{2}^n\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)+\frac{2}{3}(-1{)}^n\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right),\text{d’ouˋ}{u}_n=\frac{2^n+2(-1{)}^n}{3}.$$

Contrôles. $u_0=(1+2)/3=1$, $u_1=(2-2)/3=0$, $u_2=(4+2)/3=2$ — et la relation donne bien $u_2=u_1+2u_0=2$.

Le point à retenir. Une récurrence d'ordre $2$ devient vectorielle d'ordre $1$ en empilant deux termes consécutifs, et les valeurs propres sont les racines de $r^2=r+2$ : l'équation caractéristique de première année, retrouvée.