Une suite récurrente vectorielle

Forme matricielle. $X_{n+1}=A{X}_n$ avec $X_n=\left(\begin{array}{c}{u}_n\\ v_n\end{array}\right)$ et $A=\left(\begin{array}{cc}0,8& 0,3\\ 0,2& 0,7\end{array}\right)$, donc $X_n=A^n{X}_0$.

Valeurs propres. La somme de chaque colonne vaut $1$, donc $A\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2,4+0,6\\ 0,6+1,4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)$ : ${\lambda }_1=1$, de vecteur propre $\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)$. Par ailleurs $A\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0,5\\ -0,5\end{array}\right)=0,5\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$ : ${\lambda }_2=0,5$.

Décomposition de $X_0$. On cherche $\alpha ,\beta$ tels que $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\alpha \left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)+\beta \left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$. La seconde ligne donne $\beta =2\alpha$, la première $3\alpha +2\alpha =1$, d'où $\alpha =0,2$ et $\beta =0,4$.

Formule explicite.

$$X_n=0,2\cdot 1^n\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)+0,4\cdot (0,5{)}^n\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right).$$

Contrôle en $n=0$ : $0,2(3,2)+0,4(1,-1)=(0,6+0,4,0,4-0,4)=(1,0)$. C'est bien $X_0$.

Limite. $(0,5{)}^n\to 0$, donc $X_n\to (0,6;0,4)$. La suite converge vers un état d'équilibre, dicté par la seule valeur propre $1$.