Une valeur propre lue sur les sommes des lignes

Le résultat général. Notons $U$ la colonne dont toutes les entrées valent $1$. La $i$-ème entrée du produit $AU$ vaut $$\sum _{j=1}^n{a}_{i,j}\times 1=\sum _{j=1}^n{a}_{i,j},$$ c'est-à-dire exactement la somme de la $i$-ème ligne, donc $s$ par hypothèse. Toutes les entrées de $AU$ valent donc $s$, autrement dit $$AU=sU.$$ Comme $U\ne 0$ (ses entrées valent $1$), la définition est satisfaite : $s$ est valeur propre de $A$, et $U$ est un vecteur propre associé.

Le point délicat. L'exigence $X\ne 0$ n'est pas une formalité : sans elle, tout réel serait valeur propre de toute matrice. Ici c'est le fait que $U$ ne soit pas la colonne nulle qui fait la démonstration.

Application. Les trois lignes de $A$ ont pour somme $1+2+3=6$, $3+1+2=6$ et $2+3+1=6$ : la somme commune vaut $s=6$. Donc $6$ est valeur propre de $A$, de vecteur propre ${}^t(1,1,1)$.

Vérification directe : $$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\\ 2& 3& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 6\\ 6\end{array}\right)=6\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right).$$

Portée de la méthode. Aucun système n'a été résolu et aucun déterminant calculé : la structure de la matrice a livré une valeur propre à la lecture. C'est le premier réflexe devant une matrice dont les lignes se ressemblent — les matrices de chaînes de Markov, par exemple, ont toutes leurs lignes de somme $1$, donc $1$ pour valeur propre.