Une valeur propre nulle

$0$ est valeur propre. Il s'agit de trouver une colonne $X\ne 0$ telle que $AX=0\cdot X=0$. Le système $AX=0$ s'écrit $$x+2y=0\text{et}2x+4y=0.$$ La seconde équation est le double de la première : elle n'apporte rien. Il reste $x=-2y$, avec $y$ libre. En prenant $y=1$, la colonne ${}^t(-2,1)$ est non nulle et vérifie $$A\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2+2\\ -4+4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right).$$ Donc $0\in \mathrm{Sp}(A)$.

Le sous-espace propre. D'après le calcul, $$E_0(A)=\left\{{}^t(-2y,y)\mid y\in \mathbb{R}\right\}=\mathrm{Vect}({}^t(-2,1)),$$ de dimension $1$. C'est exactement le noyau de $A$.

Non inversibilité. Une matrice $A$ est inversible si et seulement si $0$ n'est pas valeur propre : ici $0$ l'est, donc $A$ n'est pas inversible. On le voit aussi sur le déterminant d'ordre $2$ : $1\times 4-2\times 2=0$.

Lecture. La deuxième ligne de $A$ est le double de la première : le rang vaut $1$, donc le noyau est de dimension $2-1=1$ par le théorème du rang. Tout est cohérent.