Ajuster les constantes à la condition initiale

Le système en $c_1,c_2$. En $t=0$, les deux exponentielles valent $1$ : $$c_1\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 2\end{array}\right),\text{soit}\{\begin{array}{l}{c}_1+2c_2=5\\ c_1-c_2=2.\end{array}$$

La résolution. Soustrayons la seconde équation de la première : $3c_2=3$, donc $c_2=1$. La seconde donne alors $c_1=2+1=3$.

La solution. $$X(t)=3{\mathrm{e}}^{-2t}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)+{\mathrm{e}}^t\left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3{\mathrm{e}}^{-2t}+2{\mathrm{e}}^t\\ 3{\mathrm{e}}^{-2t}-{\mathrm{e}}^t\end{array}\right).$$

Vérification en $t=0$ : $(3+2,3-1)=(5,2)$. C'est bien la condition demandée.

Pourquoi la solution est unique. Le théorème de Cauchy garantit qu'un système $X^{\prime }=AX$ avec une condition initiale donnée n'a qu'une solution : le système linéaire en $(c_1,c_2)$ devait donc avoir une solution et une seule, ce que confirme le fait que les deux vecteurs propres forment une base.