De deux valeurs propres à la forme des solutions

La solution vectorielle. Avec $X={}^t(x,x^{\prime })$, le cours donne $$X(t)=c_1{\mathrm{e}}^{3t}\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)+c_2{\mathrm{e}}^{-2t}\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right).$$

La forme de $x$. La fonction cherchée est la première coordonnée : $$x(t)=c_1{\mathrm{e}}^{3t}+c_2{\mathrm{e}}^{-2t},(c_1,c_2)\in {\mathbb{R}}^2.$$ La seconde coordonnée en est la dérivée, $x^{\prime }(t)=3c_1{\mathrm{e}}^{3t}-2c_2{\mathrm{e}}^{-2t}$, ce qui est cohérent.

Les conditions initiales. En $t=0$ : $$c_1+c_2=1\text{et}3c_1-2c_2=8.$$ De la première, $c_2=1-c_1$ ; en reportant : $3c_1-2(1-c_1)=5c_1-2=8$, donc $c_1=2$ et $c_2=-1$.

La solution. $$x(t)=2{\mathrm{e}}^{3t}-{\mathrm{e}}^{-2t}.$$

Vérification. $x(0)=2-1=1$ ; $x^{\prime }(t)=6{\mathrm{e}}^{3t}+2{\mathrm{e}}^{-2t}$, donc $x^{\prime }(0)=6+2=8$ ; et $x^{\prime \prime }(t)=18{\mathrm{e}}^{3t}-4{\mathrm{e}}^{-2t}$, tandis que $x^{\prime }+6x=6{\mathrm{e}}^{3t}+2{\mathrm{e}}^{-2t}+12{\mathrm{e}}^{3t}-6{\mathrm{e}}^{-2t}=18{\mathrm{e}}^{3t}-4{\mathrm{e}}^{-2t}$. Les deux coïncident.