Décider de la stabilité sans chercher les vecteurs propres

Le critère. Toutes les trajectoires tendent vers $0$ si et seulement si les deux valeurs propres sont strictement négatives. Or, pour deux réels : $${\lambda }_1<0\text{et}{\lambda }_2<0⟺{\lambda }_1+{\lambda }_2<0\text{et}{\lambda }_1{\lambda }_2>0.$$ Justification : si les deux sont négatifs, la somme l'est et le produit de deux négatifs est positif. Réciproquement, un produit positif impose des signes identiques, et la somme négative interdit qu'ils soient tous deux positifs.

Le critère se lit donc directement sur $A$ : somme des coefficients diagonaux $<0$ et déterminant $>0$.

Pour $A_1$. La somme des coefficients diagonaux vaut $-3+(-4)=-7<0$ ; le déterminant vaut $(-3)(-4)-2\times 1=12-2=10>0$. Les deux conditions sont remplies : les deux valeurs propres sont strictement négatives, donc toutes les trajectoires tendent vers $0$.

Pour $A_2$. Le déterminant vaut $1\times (-4)-3\times 2=-10<0$. Le produit des valeurs propres est négatif, donc elles sont de signes opposés : il y en a une strictement positive. Les trajectoires dont la composante correspondante est non nulle sont non bornées — l'origine est un point selle. (La somme, ici $1-4=-3<0$, ne change rien : les deux conditions sont nécessaires ensemble.)

Portée. Aucun vecteur propre n'a été calculé, et aucune valeur propre non plus : deux nombres lus sur la matrice ont suffi. Attention, ce critère est propre à la taille $2$.