Deux comptes qui s’échangent un capital

Forme matricielle. $X^{\prime }=AX$ avec $A=\left(\begin{array}{cc}-0,3& 0,1\\ 0,3& -0,1\end{array}\right)$.

Une observation qui oriente tout. Chaque colonne de $A$ a pour somme $0$, donc $(x+y{)}^{\prime }=x^{\prime }+y^{\prime }=0$ : le capital total est constant, égal à $100$. Le système ne fait que le déplacer.

Éléments propres. $A{}^t(1,3)={}^t(0,0)$ : la valeur propre $0$, de vecteur propre ${}^t(1,3)$ — c'est $\ker (A)$, la droite des états d'équilibre. Et $A{}^t(1,-1)={}^t(-0,4,0,4)=-0,4{}^t(1,-1)$ : seconde valeur propre $-0,4$.

Solution générale. $X(t)=c_1{}^t(1,3)+c_2{\mathrm{e}}^{-0,4t}{}^t(1,-1)$, le premier terme étant constant puisque ${\mathrm{e}}^{0\cdot t}=1$.

Condition initiale. $c_1+c_2=100$ et $3c_1-c_2=0$. En additionnant : $4c_1=100$, donc $c_1=25$ et $c_2=75$ :

$$\{\begin{array}{l}x(t)=25+75{\mathrm{e}}^{-0,4t}\\ y(t)=75-75{\mathrm{e}}^{-0,4t}.\end{array}$$

Contrôles. $X(0)=(100,0)$, et $x(t)+y(t)=100$ pour tout $t$ — conforme à la conservation vue plus haut.

Limite. $X(t)\to (25,75)$ : la répartition d'équilibre est dans le rapport $1:3$, l'inverse du rapport des taux $0,3$ et $0,1$. Le compte dont on sort le plus vite finit le plus vide.