Deux trajectoires ne se croisent jamais

Ce qu'on emploie. Le théorème de Cauchy admis par le cours : pour tous $t_0\in \mathbb{R}$ et $X_0\in {\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$, le problème $\{X^{\prime }=AX,X(t_0)=X_0\}$ admet une unique solution, définie sur $\mathbb{R}$.

La démonstration. Supposons $X(t_1)=Y(t_1)$ et posons $X_1$ cette valeur commune. Alors $X$ et $Y$ sont toutes deux des solutions du problème $$\{\begin{array}{l}{Z}^{\prime }=AZ\\ Z(t_1)=X_1.\end{array}$$ Le théorème de Cauchy affirme que ce problème n'a qu'une solution : donc $X=Y$, et cela sur $\mathbb{R}$ tout entier — pas seulement au voisinage de $t_1$.

Conséquence : une solution non nulle ne s'annule jamais. Soit $X$ une solution telle qu'il existe $t_1$ avec $X(t_1)=0$. La fonction constante $Y(t)=0$ est solution du système : en effet $Y^{\prime }=0$ et $AY=A\cdot 0=0$. Or $Y(t_1)=0=X(t_1)$. Par ce qui précède, $X=Y$, c'est-à-dire $X$ est identiquement nulle.

Par contraposée : si $X$ n'est pas la solution nulle, alors $X(t)\ne 0$ pour tout $t$.

Ce que cela signifie sur un portrait de phase. Deux trajectoires distinctes ne peuvent pas se rencontrer, car un point commun définirait deux solutions d'un même problème de Cauchy. Les courbes se rangent donc en familles emboîtées, sans aucune intersection — et aucune d'elles n'atteint l'origine en temps fini : elle ne peut que s'en approcher quand $t\to +\infty$.

Le point délicat. L'unicité porte sur le problème avec condition initiale. Deux solutions différentes du même système existent bien sûr (il y en a une infinité) ; ce qui est interdit, c'est qu'elles coïncident en un seul point sans coïncider partout.