Deux valeurs propres opposées

Éléments propres. $A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ et $A\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)=-\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$ : les valeurs propres sont $1$ et $-1$.

Solution générale. $X(t)=c_1{\mathrm{e}}^t\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)+c_2{\mathrm{e}}^{-t}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$.

Portrait de phase. Les deux valeurs propres sont de signes opposés : c'est un point selle. Une trajectoire lancée sur la direction $(1,-1)$ converge vers l'origine ; toute autre s'en éloigne en s'alignant sur $(1,1)$.

Remarque. Seules deux demi-droites convergent, sur une infinité de directions possibles. Un équilibre « instable » n'interdit pas des trajectoires convergentes — il interdit seulement qu'elles soient la règle.