Écrire la solution générale

La forme du cours. Quand $A$ est diagonalisable de valeurs propres ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ et de vecteurs propres $V_1,V_2$, la solution générale est $$X(t)=c_1{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{1}t}{V}_1+c_2{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{2}t}{V}_2,(c_1,c_2)\in {\mathbb{R}}^2.$$ On n'écrit ni $P$ ni $P^{-1}$ : les vecteurs propres suffisent.

Application. $$X(t)=c_1{\mathrm{e}}^{-t}\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)+c_2{\mathrm{e}}^{3t}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right).$$

En coordonnées. La première ligne donne $x(t)$, la seconde $y(t)$ : $$\{\begin{array}{l}x(t)=c_1{\mathrm{e}}^{-t}+c_2{\mathrm{e}}^{3t}\\ y(t)=2c_1{\mathrm{e}}^{-t}-c_2{\mathrm{e}}^{3t}\end{array}(c_1,c_2)\in {\mathbb{R}}^2.$$

Le point à ne pas rater. Chaque constante $c_i$ multiplie tout le vecteur propre : le même $c_1$ apparaît dans $x$ et dans $y$, avec les coefficients $1$ et $2$ du vecteur ${}^t(1,2)$. Écrire quatre constantes indépendantes serait une erreur — l'ensemble des solutions est de dimension $2$, pas $4$.

Comportement. Le terme en ${\mathrm{e}}^{3t}$ domine : sauf si $c_2=0$, la trajectoire s'échappe le long de la direction ${}^t(1,-1)$.