La matrice compagnon d'une équation d'ordre deux

Le système. On pose $X=\left(\begin{array}{c}x\\ x^{\prime }\end{array}\right)$. L'équation $x^{\prime \prime }=a{x}^{\prime }+bx$ a ici $a=5$ et $b=-6$, d'où $$A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ b& a\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -6& 5\end{array}\right),X^{\prime }=AX.$$ Contrôle de l'ordre : la seconde ligne de $AX$ vaut $-6x+5x^{\prime }$, ce qui est bien $x^{\prime \prime }$. Écrire $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 5& -6\end{array}\right)$ serait l'erreur classique.

Premier vecteur. $$A\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ -6+10\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right).$$ Vecteur propre pour $\lambda =2$.

Second vecteur. $$A\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ -6+15\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 9\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\right).$$ Vecteur propre pour $\lambda =3$.

Conclusion. $\mathrm{Sp}(A)=\{2,3\}$, deux valeurs propres distinctes : $A$ est diagonalisable. Les vecteurs propres sont de la forme ${}^t(1,\lambda )$, comme le cours l'annonce pour une matrice compagnon.

Cohérence. Les valeurs propres $2$ et $3$ vérifient bien ${\lambda }^2=5\lambda -6$ : $4=10-6$ et $9=15-6$.