La valeur propre la plus lente commande la fin

Les éléments propres. $A$ est symétrique, donc diagonalisable. Les deux lignes ont pour somme $-1,6+1,4=-0,2$, donc $$A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=-0,2\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right).$$ Par ailleurs $A{}^t(1,-1)={}^t(-1,6-1,4,1,4+1,6)={}^t(-3,3)=-3{}^t(1,-1)$. Donc $\mathrm{Sp}(A)=\{-0,2,-3\}$.

La solution générale. $$X(t)=c_1{\mathrm{e}}^{-0,2t}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)+c_2{\mathrm{e}}^{-3t}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right).$$

Convergence vers $0$. Les deux exposants $-0,2$ et $-3$ sont strictement négatifs, donc ${\mathrm{e}}^{-0,2t}\to 0$ et ${\mathrm{e}}^{-3t}\to 0$ quand $t\to +\infty$. Chaque coordonnée de $X(t)$ est une combinaison de ces deux termes : elle tend vers $0$. Toute trajectoire converge vers l'origine, quelle que soit la condition initiale : l'origine est un équilibre stable.

La vitesse. Les deux termes ne s'éteignent pas au même rythme. Divisons par ${\mathrm{e}}^{-0,2t}$, le plus lent : $${\mathrm{e}}^{0,2t}X(t)=c_1\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)+c_2{\mathrm{e}}^{-2,8t}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)⟶c_1\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),$$ puisque $-3+0,2=-2,8<0$. Donc, si $c_1\ne 0$, $$X(t)\text{se comporte comme}{c}_1{\mathrm{e}}^{-0,2t}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right).$$

Lecture. C'est la valeur propre la plus proche de zéro qui dicte la vitesse finale : $-3$ s'éteint vite et disparaît, $-0,2$ traîne. Le retour à l'équilibre se fait donc au rythme ${\mathrm{e}}^{-0,2t}$, et le long de la direction ${}^t(1,1)$.