mathématiques appliquées (ECG 2e année) · Chapitre 4 · Exercice d'entraînement

La valeur propre la plus lente commande la fin

Systèmes différentiels linéaires · Stabilité, équilibres et comportement asymptotique · niveau 2

Énoncé

Soit $A = (- 1, 6 1, 4 1, 4 - 1, 6)$ . Montrer que toute solution de $X^{'} = A X$ tend vers $0$ , puis déterminer la vitesse de cette convergence.

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Élève

La trace de $A$ vaut $- 3, 2 < 0$ , donc ses valeurs propres sont négatives et toutes les solutions tendent vers $0$ . Pour la vitesse, en revanche, je ne vois pas ce qu'on attend.

Une trace négative dit seulement que la somme des valeurs propres est négative. Peux-tu trouver une matrice diagonale $2 \times 2$ de trace négative pour laquelle certaines solutions de $X^{'} = A X$ ne tendent pas vers $0$ ?

Élève

Avec $diag (1, - 5)$ , la trace vaut $- 4$ , mais la solution $(e^{t}, 0)$ part à l'infini. Il me faut donc aussi le signe du produit des valeurs propres, ou mieux, les valeurs propres elles-mêmes.

Oui, et ici on peut les obtenir sans polynôme caractéristique. Regarde la somme des coefficients de chaque ligne de $A$ : quel vecteur propre cela suggère-t-il, et lequel peux-tu deviner ensuite en profitant de la symétrie de $A$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. Le corrigé de cet exercice n'est pas publié : à toi de continuer.

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