Le modèle d'ajustement du marché

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 4 — Systèmes différentiels linéaires · Modèles et cas non diagonalisable

Énoncé

Reprendre $A = (0 0, 8 - 0, 5 - 1, 3)$ du cours, dont les valeurs propres sont $- 0, 8$ et $- 0, 5$ , de vecteurs propres $(1 1, 6)$ et $(11)$ . Résoudre avec $X (0) = (10)$ , puis dire au bout de combien de temps l'écart de prix est réduit de moitié.

Corrigé

Solution générale. $X (t) = c_{1} e^{- 0, 8 t} (1 1, 6) + c_{2} e^{- 0, 5 t} (11)$ .

Condition initiale. $c_{1} + c_{2} = 1$ et $1, 6 c_{1} + c_{2} = 0$ . En soustrayant : $0, 6 c_{1} = - 1$ , donc $c_{1} = - \frac{5}{3}$ et $c_{2} = \frac{8}{3}$ . D'où

$p (t) = - \frac{5}{3} e^{- 0, 8 t} + \frac{8}{3} e^{- 0, 5 t} .$

Contrôle : $p (0) = - \frac{5}{3} + \frac{8}{3} = 1$ . Et $s (0) = - \frac{5}{3} \times 1, 6 + \frac{8}{3} = - \frac{8}{3} + \frac{8}{3} = 0$ .

Demi-vie. Pour $t$ grand, le terme en $e^{- 0, 5 t}$ domine — c'est la valeur propre la plus proche de $0$ . L'écart est alors divisé par deux tous les $ln 2/0, 5 \approx 1, 39$ unité de temps.

L'enseignement économique. La vitesse de retour à l'équilibre n'est pas fixée par le mécanisme le plus rapide, mais par le plus lent : c'est lui qui subsiste quand les autres se sont éteints.

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