Le modèle d'ajustement du marché

Solution générale. $X(t)=c_1{\mathrm{e}}^{-0,8t}\left(\begin{array}{c}1\\ 1,6\end{array}\right)+c_2{\mathrm{e}}^{-0,5t}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$.

Condition initiale. $c_1+c_2=1$ et $1,6c_1+c_2=0$. En soustrayant : $0,6c_1=-1$, donc $c_1=-\frac{5}{3}$ et $c_2=\frac{8}{3}$. D'où

$$p(t)=-\frac{5}{3}{\mathrm{e}}^{-0,8t}+\frac{8}{3}{\mathrm{e}}^{-0,5t}.$$

Contrôle : $p(0)=-\frac{5}{3}+\frac{8}{3}=1$. Et $s(0)=-\frac{5}{3}\times 1,6+\frac{8}{3}=-\frac{8}{3}+\frac{8}{3}=0$.

Demi-vie. Pour $t$ grand, le terme en ${\mathrm{e}}^{-0,5t}$ domine — c'est la valeur propre la plus proche de $0$. L'écart est alors divisé par deux tous les $\ln 2/0,5\approx 1,39$ unité de temps. Partant de $p(0)=1$, la valeur $\frac{1}{2}$ n'est atteinte qu'en $t\approx 2,7$ (résolution numérique de $p(t)=\frac{1}{2}$) : comme $p^{\prime }(0)=\frac{4}{3}-\frac{4}{3}=0$, la décroissance démarre lentement.

L'enseignement économique. La vitesse de retour à l'équilibre n'est pas fixée par le mécanisme le plus rapide, mais par le plus lent : c'est lui qui subsiste quand les autres se sont éteints.