Les états d'équilibre

Ce qu'est un état d'équilibre. C'est une solution constante $X(t)=X_e$. Sa dérivée est nulle, donc l'équation $X^{\prime }=AX$ impose $A{X}_e=0$ : les états d'équilibre sont exactement les éléments de $\ker (A)$.

Pour $A_1$. Résolvons $A_{1}X=0$ : $$x+2y=0\text{et}2x+4y=0.$$ La seconde équation est le double de la première, elle n'apporte rien. Il reste $x=-2y$, donc $$\ker (A_1)=\mathrm{Vect}({}^t(-2,1)).$$ Il y a toute une droite d'états d'équilibre : tout point de cette droite, pris comme condition initiale, donne une trajectoire immobile.

Pour $A_2$. Le déterminant vaut $1\times 4-2\times 3=-2\ne 0$, donc $A_2$ est inversible et $\ker (A_2)=\{0\}$ : le seul état d'équilibre est l'origine.

La règle générale. Si $A$ est inversible, l'origine est le seul équilibre ; sinon, c'est-à-dire si $0\in \mathrm{Sp}(A)$, l'ensemble des équilibres est le sous-espace propre $E_0(A)$, de dimension au moins $1$.