Lire un comportement sur une formule

La limite. En coordonnées, $$x(t)=2{\mathrm{e}}^{-t},y(t)=5{\mathrm{e}}^{-4t}.$$ Les deux exposants $-1$ et $-4$ sont strictement négatifs, donc ${\mathrm{e}}^{-t}\to 0$ et ${\mathrm{e}}^{-4t}\to 0$ quand $t\to +\infty$. Par conséquent $$X(t)⟶\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right).$$

Lequel s'éteint le plus vite. Comparons les deux termes en formant leur quotient : $$\frac{5{\mathrm{e}}^{-4t}}{2{\mathrm{e}}^{-t}}=\frac{5}{2}{\mathrm{e}}^{-3t}⟶0.$$ Le second terme est donc négligeable devant le premier : c'est $5{\mathrm{e}}^{-4t}$ qui s'éteint le plus vite, malgré son coefficient plus grand.

Le point à retenir. Ce sont les exposants qui décident du classement, pas les coefficients devant les exponentielles. Le coefficient $5$ rend le second terme plus grand au départ (en $t=0$ : $5$ contre $2$), mais l'exponentielle la plus négative finit toujours par l'emporter. La fin du mouvement est donc gouvernée par ${\mathrm{e}}^{-t}$, c'est-à-dire par la valeur propre la plus proche de $0$.