Passer des équations à la matrice, et retour

Premier sens. Posons $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$, de sorte que $X^{\prime }=\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)$. Le produit $AX$ doit avoir pour première entrée $2x-3y$ et pour seconde $x+4y$. La $i$-ème ligne de $A$ porte donc les coefficients de la $i$-ème équation, dans l'ordre des inconnues : $$A=\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ 1& 4\end{array}\right).$$ Contrôle : $AX=\left(\begin{array}{c}2x-3y\\ x+4y\end{array}\right)$, ce qui est bien le second membre.

Second sens. Avec $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$, $$BX=\left(\begin{array}{c}0\cdot x+5y\\ -x+2y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5y\\ -x+2y\end{array}\right),$$ donc le système s'écrit $$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=5y\\ y^{\prime }=-x+2y.\end{array}$$

Le piège. Les lignes de $A$ sont les équations, les colonnes sont les inconnues. Transposer par mégarde donnerait ici $\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -3& 4\end{array}\right)$, c'est-à-dire un tout autre système. Le contrôle par le produit $AX$ coûte une ligne et attrape l'erreur.