Pourquoi les valeurs propres sont les bonnes racines

Traduction de la définition. $\lambda$ est valeur propre de $A$ s'il existe $X={}^t(u,v)\ne 0$ tel que $AX=\lambda X$, c'est-à-dire $$\left(\begin{array}{c}v\\ bu+av\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\lambda u\\ \lambda v\end{array}\right),\text{soit}\{\begin{array}{l}v=\lambda u\\ bu+av=\lambda v.\end{array}$$

Sens direct. Supposons $X\ne 0$ solution. Si $u=0$, la première équation donne $v=0$, donc $X=0$ : exclu. Donc $u\ne 0$. En reportant $v=\lambda u$ dans la seconde équation : $$bu+a\lambda u={\lambda }^{2}u,$$ et l'on divise par $u\ne 0$ : ${\lambda }^2=a\lambda +b$.

Sens réciproque. Supposons ${\lambda }^2=a\lambda +b$ et posons $X={}^t(1,\lambda )$, qui est non nul. Alors $$AX=\left(\begin{array}{c}\lambda \\ b+a\lambda \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\lambda \\ {\lambda }^2\end{array}\right)=\lambda \left(\begin{array}{c}1\\ \lambda \end{array}\right)=\lambda X.$$ Donc $\lambda$ est valeur propre, de vecteur propre ${}^t(1,\lambda )$.

Le point délicat est d'avoir établi $u\ne 0$ avant de diviser : c'est la première équation, jointe à $X\ne 0$, qui l'assure.

Ce que le résultat signifie. L'équation ${\lambda }^2=a\lambda +b$ est exactement celle qu'on écrivait en première année pour résoudre $x^{\prime \prime }=a{x}^{\prime }+bx$ en cherchant des solutions de la forme ${\mathrm{e}}^{\lambda t}$. Le passage par le système ne change donc pas les nombres : il explique pourquoi ce sont eux, et fournit en prime les vecteurs ${}^t(1,\lambda )$.