Remonter de la solution au système

Ce que la forme des solutions dit de $A$. D'après le cours, une telle écriture signifie que $A$ est diagonalisable, de valeurs propres $2$ et $-1$, avec pour vecteurs propres associés ${}^t(1,1)$ et ${}^t(1,-2)$. Autrement dit $$A=PD{P}^{-1},P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -2\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -1\end{array}\right),$$ les colonnes de $P$ étant les vecteurs propres et les coefficients de $D$ les valeurs propres dans le même ordre.

L'inverse de $P$. Son déterminant vaut $1\times (-2)-1\times 1=-3$, non nul, donc $$P^{-1}=-\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}-2& -1\\ -1& 1\end{array}\right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -1\end{array}\right).$$

Le produit. Multiplier $P$ à droite par $D$ multiplie la première colonne par $2$ et la seconde par $-1$ : $$PD=\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 2& 2\end{array}\right),$$ puis $$A=(PD)P^{-1}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 2& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -1\end{array}\right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}4-1& 2+1\\ 4+2& 2-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 0\end{array}\right).$$

Vérification, sans repasser par $P$. $A{}^t(1,1)={}^t(2,2)=2{}^t(1,1)$ et $A{}^t(1,-2)={}^t(1-2,2)={}^t(-1,2)=-1\cdot {}^t(1,-2)$. Les deux couples valeur propre / vecteur propre sont bien ceux annoncés.