Stable ou non ?

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 4 — Systèmes différentiels linéaires · Stabilité et portrait de phase

Énoncé

Pour chacune des matrices suivantes, dire sans résoudre si toutes les trajectoires de $X^{'} = A X$ tendent vers $0$ : $A_{1} = (- 2 0 0 - 5)$ , $A_{2} = (1221)$ , $A_{3} = (- 3 0 1 - 1)$ .

Corrigé

$A_{1}$ : oui. Diagonale, valeurs propres $- 2$ et $- 5$ , toutes deux strictement négatives.

$A_{2}$ : non. On a vu que ses valeurs propres sont $3$ et $- 1$ . La composante en $e^{3 t}$ explose dès que $c_{1} \neq = 0$ . Seules les trajectoires portées par la direction propre de $- 1$ tendent vers $0$ : l'origine est un point selle.

$A_{3}$ : oui. Triangulaire, valeurs propres $- 3$ et $- 1$ , strictement négatives.

La règle. On lit le spectre, on regarde les signes, et l'on conclut. Aucune résolution n'est nécessaire — c'est tout l'intérêt du théorème.

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