Toutes bornées, ou pas du tout

Notations. $A$ étant diagonalisable, il existe une base $(V_1,\dots ,V_n)$ de vecteurs propres, $A{V}_i={\lambda }_i{V}_i$, et le cours donne la forme générale des solutions : $$X(t)=\sum _{i=1}^n{c}_i{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{i}t}{V}_i,(c_1,\dots ,c_n)\in {\mathbb{R}}^n.$$ Chaque choix des $c_i$ donne une solution, et toutes s'obtiennent ainsi.

Sens réciproque : si tous les ${\lambda }_i<0$, toute solution tend vers $0$. Pour chaque $i$, ${\lambda }_i<0$ donne ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_{i}t}\to 0$ quand $t\to +\infty$. Chaque terme $c_i{\mathrm{e}}^{{\lambda }_{i}t}{V}_i$ tend donc vers la colonne nulle, et une somme finie de termes tendant vers $0$ tend vers $0$. Donc $X(t)\to 0$, et ce pour tout choix des $c_i$.

Sens direct : par contraposée. Supposons qu'il existe un indice $j$ avec ${\lambda }_j⩾0$. Considérons la solution particulière obtenue en prenant $c_j=1$ et $c_i=0$ pour $i\ne j$ : $$X(t)={\mathrm{e}}^{{\lambda }_{j}t}{V}_j.$$

• Si ${\lambda }_j>0$, alors ${\mathrm{e}}^{{\lambda }_{j}t}\to +\infty$ et les coordonnées de $X(t)$ non nulles à l'origine explosent.
• Si ${\lambda }_j=0$, alors $X(t)=V_j$ pour tout $t$ : la solution est constante, égale à un vecteur non nul (c'est un vecteur propre).

Dans les deux cas $X(t)$ ne tend pas vers $0$ : il existe donc une solution qui ne converge pas vers l'origine. La contraposée est établie.

Le point délicat est le cas ${\lambda }_j=0$ : il ne fait rien exploser, mais il empêche la convergence vers l'origine, car il fige une composante à une valeur non nulle. Ce cas correspond exactement à l'existence d'états d'équilibre autres que l'origine, puisque $0\in \mathrm{Sp}(A)$ signifie $\ker (A)\ne \{0\}$.