Un état d'équilibre non nul

États d'équilibre. Ce sont les $X$ tels que $AX=0$, c'est-à-dire $x_1-x_2=0$ (la seconde équation en est le double). Donc $\ker (A)=\mathrm{Vect}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ : toute une droite d'équilibres, et non le seul point $0$.

Spectre. $0$ est valeur propre, de vecteur propre $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$. La somme des coefficients diagonaux vaut $1+2=3$, donc l'autre valeur propre est $3-0=3$. Un vecteur propre associé : $A\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ -6\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right)$.

Solution générale.

$$X(t)=c_1\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)+c_2{\mathrm{e}}^{3t}\left(\begin{array}{c}1\\ -2\end{array}\right).$$

La première composante est constante — c'est bien un équilibre — et la seconde explose. Une trajectoire ne reste à l'équilibre que si $c_2=0$, c'est-à-dire si elle y démarre : l'équilibre est instable.