Un paramètre qui décide de la stabilité

Éléments propres, sans déterminant. $A_m{}^t(1,1)=(m+1){}^t(1,1)$ et $A_m{}^t(1,-1)={}^t(m-1,1-m)=(m-1){}^t(1,-1)$. Les valeurs propres sont $m+1$ et $m-1$ : elles diffèrent de $2$, donc restent distinctes, et $A_m$ est toujours diagonalisable.

Solution générale.

$$X(t)=c_1{\mathrm{e}}^{(m+1)t}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)+c_2{\mathrm{e}}^{(m-1)t}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right).$$

Discussion. Le théorème du cours fait tout reposer sur les signes.

• $m<-1$ : $m+1<0$ et $m-1<0$. Les deux exponentielles s'éteignent : toutes les trajectoires tendent vers $0$, l'origine est stable.
• $m=-1$ : les valeurs propres sont $0$ et $-2$. Alors $X(t)\to c_1{}^t(1,1)$ : la limite existe mais n'est nulle que si $c_1=0$. Il y a toute une droite d'états d'équilibre.
• $-1<m<1$ : $m+1>0>m-1$, signes opposés — c'est un point selle. Seules les trajectoires portées par ${}^t(1,-1)$ convergent.
• $m⩾1$ : les deux valeurs propres sont positives ou nulles, rien ne converge vers $0$ hormis la solution nulle.

Conclusion. Toutes les trajectoires tendent vers $0$ si et seulement si $m<-1$.

Le point à retenir. La stabilité ne se lit pas sur la taille des coefficients, mais sur le signe de la plus grande valeur propre. Ici $m+1$, et elle seule.