Un point selle, et ses deux directions

Les éléments propres. $A$ est symétrique, donc diagonalisable. Les lignes ont pour somme $-1+2=1$, donc $A{}^t(1,1)=1\cdot {}^t(1,1)$. Et $A{}^t(1,-1)={}^t(-1-2,2+1)={}^t(-3,3)=-3{}^t(1,-1)$. Ainsi $$\mathrm{Sp}(A)=\{1,-3\},V_1={}^t(1,1)(\lambda =1),V_2={}^t(1,-1)(\lambda =-3).$$

La solution générale. $$X(t)=c_1{\mathrm{e}}^t\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)+c_2{\mathrm{e}}^{-3t}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right).$$

Discussion. Quand $t\to +\infty$, le terme en ${\mathrm{e}}^{-3t}$ tend vers $0$ et celui en ${\mathrm{e}}^t$ tend vers l'infini en valeur absolue si $c_1\ne 0$.

• Si $c_1=0$ : $X(t)=c_2{\mathrm{e}}^{-3t}{V}_2\to 0$. Ces trajectoires restent sur la droite $\mathrm{Vect}(V_2)$ et rejoignent l'origine.
• Si $c_1\ne 0$ : les coordonnées de $X(t)$ ne sont pas bornées, car le terme en ${\mathrm{e}}^t$ l'emporte ; en divisant par ${\mathrm{e}}^t$ on voit que la trajectoire s'aligne sur $\mathrm{Vect}(V_1)$.

Le régime. Les deux valeurs propres sont de signes opposés : l'origine est un point selle. Les trajectoires s'en approchent le long de la direction propre négative $\mathrm{Vect}{}^t(1,-1)$ et s'en échappent le long de la direction positive $\mathrm{Vect}{}^t(1,1)$.

Le point délicat. Seules les conditions initiales situées exactement sur $\mathrm{Vect}{}^t(1,-1)$ donnent une trajectoire qui converge : c'est une droite dans un plan, donc un cas exceptionnel. L'immense majorité des données initiales conduit à l'explosion.