Un système $3\times 3$

$A$ est diagonale, le système est découplé :

$$x_1^{\prime }=x_1,x_2^{\prime }=2x_2,x_3^{\prime }=-x_3,$$

d'où $x_1(t)=c_1{\mathrm{e}}^t$, $x_2(t)=c_2{\mathrm{e}}^{2t}$, $x_3(t)=c_3{\mathrm{e}}^{-t}$. La condition initiale donne $c_1=1$, $c_2=1$, $c_3=2$ :

$$X(t)=({\mathrm{e}}^t,{\mathrm{e}}^{2t},2{\mathrm{e}}^{-t}).$$

Comportement. La troisième coordonnée tend vers $0$, les deux autres vers $+\infty$. Et $x_2$ l'emporte largement : $x_1/x_2={\mathrm{e}}^{-t}\to 0$. La plus grande valeur propre finit toujours par dominer — la trajectoire s'aligne asymptotiquement sur la direction propre de $2$.