Un système couplé, de bout en bout

Diagonalisable. $A$ est symétrique : le cours l'admet.

Éléments propres. $A{}^t(1,1)={}^t(-2+1,1-2)={}^t(-1,-1)=-{}^t(1,1)$, et $A{}^t(1,-1)={}^t(-2-1,1+2)={}^t(-3,3)=-3{}^t(1,-1)$. Donc $\mathrm{Sp}(A)=\{-1,-3\}$.

Solution générale. Chaque direction propre suit sa propre exponentielle :

$$X(t)=c_1{\mathrm{e}}^{-t}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)+c_2{\mathrm{e}}^{-3t}\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right).$$

Condition initiale. En $t=0$ : $c_1+c_2=4$ et $c_1-c_2=2$, d'où $c_1=3$ et $c_2=1$ :

$$\{\begin{array}{l}{x}_1(t)=3{\mathrm{e}}^{-t}+{\mathrm{e}}^{-3t}\\ x_2(t)=3{\mathrm{e}}^{-t}-{\mathrm{e}}^{-3t}.\end{array}$$

Vérification. En $t=0$ : $(3+1,3-1)=(4,2)$. Et $x_1^{\prime }=-3{\mathrm{e}}^{-t}-3{\mathrm{e}}^{-3t}$, tandis que $-2x_1+x_2$ vaut $-6{\mathrm{e}}^{-t}-2{\mathrm{e}}^{-3t}+3{\mathrm{e}}^{-t}-{\mathrm{e}}^{-3t}$, c'est-à-dire la même chose.

Limite. Les deux valeurs propres sont strictement négatives, donc $X(t)\to 0$ : l'origine est un équilibre stable. Et le terme en ${\mathrm{e}}^{-3t}$ s'éteint le premier : la trajectoire s'aplatit sur la direction ${}^t(1,1)$, celle de la valeur propre la plus proche de $0$.