Un système couplé et sa direction dominante

Les valeurs propres. $\lambda$ est valeur propre si et seulement si $A-\lambda I_2$ n'est pas inversible, c'est-à-dire si son déterminant d'ordre $2$ est nul : $$(1-\lambda {)}^2-4=0⟺(1-\lambda {)}^2=4⟺1-\lambda =\pm 2.$$ Donc $\lambda =-1$ ou $\lambda =3$, et $\mathrm{Sp}(A)=\{3,-1\}$.

Les vecteurs propres. Pour $\lambda =3$ : $(A-3I_2)X=0$ donne $-2x+4y=0$, soit $x=2y$ ; un vecteur propre est $V_1={}^t(2,1)$. Pour $\lambda =-1$ : $2x+4y=0$, soit $x=-2y$ ; un vecteur propre est $V_2={}^t(2,-1)$.

La solution générale. Deux valeurs propres distinctes pour une matrice d'ordre $2$ : $A$ est diagonalisable, et $$X(t)=c_1{\mathrm{e}}^{3t}\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)+c_2{\mathrm{e}}^{-t}\left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right),(c_1,c_2)\in {\mathbb{R}}^2.$$

La condition initiale. En $t=0$ les exponentielles valent $1$ : $$2c_1+2c_2=4\text{et}{c}_1-c_2=0.$$ La seconde donne $c_1=c_2$, la première $4c_1=4$, donc $c_1=c_2=1$ : $$X(t)=\left(\begin{array}{c}2{\mathrm{e}}^{3t}+2{\mathrm{e}}^{-t}\\ {\mathrm{e}}^{3t}-{\mathrm{e}}^{-t}\end{array}\right).$$ Vérification en $t=0$ : $(2+2,1-1)=(4,0)$.

Comportement en $+\infty$. Le terme en ${\mathrm{e}}^{-t}$ tend vers $0$ et celui en ${\mathrm{e}}^{3t}$ explose : $X(t)$ n'est pas bornée. En divisant par ${\mathrm{e}}^{3t}$, $${\mathrm{e}}^{-3t}X(t)⟶\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right):$$ la trajectoire s'aligne sur la direction propre de la plus grande valeur propre.