Un système déjà découplé

$A$ est déjà diagonale : le système s'écrit $x_1^{\prime }=2x_1$ et $x_2^{\prime }=-3x_2$, sans couplage. Donc $x_1(t)=c_1{\mathrm{e}}^{2t}$ et $x_2(t)=c_2{\mathrm{e}}^{-3t}$.

La condition initiale donne $c_1=1$ et $c_2=5$ :

$$X(t)=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{e}}^{2t}\\ 5{\mathrm{e}}^{-3t}\end{array}\right).$$

Limite. $x_2(t)\to 0$, mais $x_1(t)\to +\infty$ : la trajectoire n'est pas bornée. L'origine n'est pas un équilibre stable, puisqu'une des valeurs propres est positive.