Un système déjà découplé

Exercice · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 4 — Systèmes différentiels linéaires · Résolution par diagonalisation

Énoncé

Résoudre $X^{'} = A X$ avec $A = (20 0 - 3)$ et $X (0) = (15)$ . Que devient $X (t)$ quand $t \to + \infty$ ?

Corrigé

$A$ est déjà diagonale : le système s'écrit $x_{1}^{'} = 2 x_{1}$ et $x_{2}^{'} = - 3 x_{2}$ , sans couplage. Donc $x_{1} (t) = c_{1} e^{2 t}$ et $x_{2} (t) = c_{2} e^{- 3 t}$ .

La condition initiale donne $c_{1} = 1$ et $c_{2} = 5$ :

$X (t) = (e^{2 t} 5 e^{- 3 t}) .$

Limite. $x_{2} (t) \to 0$ , mais $x_{1} (t) \to + \infty$ : la trajectoire n'est pas bornée. L'origine n'est pas un équilibre stable, puisqu'une des valeurs propres est positive.

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