Un système triangulaire d’ordre trois

Spectre. $A$ est triangulaire supérieure : ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux, $\mathrm{Sp}(A)=\{1,2,3\}$. Trois valeurs distinctes en dimension $3$ : $A$ est diagonalisable.

Vecteurs propres. $(A-I_3)X=0$ donne $y=0$ et $2z=0$ : ${}^t(1,0,0)$. $(A-2I_3)X=0$ donne $-x+y=0$ et $z=0$ : ${}^t(1,1,0)$. $(A-3I_3)X=0$ donne $-y=0$ puis $-2x+y=0$ : ${}^t(0,0,1)$.

Solution générale.

$$X(t)=c_1{\mathrm{e}}^t\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+c_2{\mathrm{e}}^{2t}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 0\end{array}\right)+c_3{\mathrm{e}}^{3t}\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right).$$

Condition initiale. En $t=0$, la deuxième coordonnée donne $c_2=1$, la troisième $c_3=1$, et la première $c_1+c_2=1$, donc $c_1=0$. Ainsi

$$X(t)=({\mathrm{e}}^{2t},{\mathrm{e}}^{2t},{\mathrm{e}}^{3t}).$$

Vérification. $X(0)=(1,1,1)$, et $x_1^{\prime }=2{\mathrm{e}}^{2t}$ tandis que la première ligne du système demande $x_1+x_2=2{\mathrm{e}}^{2t}$ : c'est la même chose. Les deux autres lignes sont immédiates.

Comportement. Tout tend vers $+\infty$, mais $x_1/x_3={\mathrm{e}}^{-t}\to 0$ : la trajectoire s'aligne sur la direction propre de $3$.

Le point à retenir. $c_1=0$ : la direction propre de $1$ n'est pas empruntée. Une composante absente de la condition initiale reste absente pour toujours — le système ne mélange jamais les directions propres.