Une condition initiale à ajuster

En $t=0$ : $c_1\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}5\\ 3\end{array}\right)$, soit

$$\{\begin{array}{l}2c_1+c_2=5\\ c_1+c_2=3.\end{array}$$

En soustrayant : $c_1=2$, puis $c_2=1$. Donc

$$X(t)=2{\mathrm{e}}^{3t}\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)+{\mathrm{e}}^{2t}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),\text{soit}\{\begin{array}{l}{x}_1(t)=4{\mathrm{e}}^{3t}+{\mathrm{e}}^{2t}\\ x_2(t)=2{\mathrm{e}}^{3t}+{\mathrm{e}}^{2t}.\end{array}$$

Vérification. En $t=0$ : $(4+1,2+1)=(5,3)$. Et $x_1^{\prime }=12{\mathrm{e}}^{3t}+2{\mathrm{e}}^{2t}$, tandis que $4x_1-2x_2=16{\mathrm{e}}^{3t}+4{\mathrm{e}}^{2t}-4{\mathrm{e}}^{3t}-2{\mathrm{e}}^{2t}=12{\mathrm{e}}^{3t}+2{\mathrm{e}}^{2t}$. Les deux coïncident.