Une équation d'ordre 2

Le système. Avec $X=\left(\begin{array}{c}x\\ x^{\prime }\end{array}\right)$, on obtient $X^{\prime }=AX$ avec $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -2& 3\end{array}\right)$ — attention à l'ordre : la seconde ligne lit $x^{\prime \prime }=-2x+3x^{\prime }$.

Valeurs propres. On vérifie que $A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ et $A\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 4\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$ : les valeurs propres sont $1$ et $2$.

Solution. $X(t)=c_1{\mathrm{e}}^t\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)+c_2{\mathrm{e}}^{2t}\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)$, dont la première coordonnée donne

$$x(t)=c_1{\mathrm{e}}^t+c_2{\mathrm{e}}^{2t}.$$

Le lien. L'équation caractéristique de $x^{\prime \prime }-3x^{\prime }+2x=0$ est $r^2-3r+2=0$, de racines $1$ et $2$ : ce sont les valeurs propres. Les deux méthodes donnent la même chose, et c'est rassurant.